Wono Setya Budhi

Jangan Percaya Mata

Setahun yang lalu, sebelum rencana Kurikulum 2013 dibuat, sebenarnya Puskurbuk
akan membuat buku. Untuk itu dikumpulkan beberapa penulis BSE yang terbaik.
Saya diminta untuk memberi bekal mengenai matematika. Salah satu hal yang saya
kemukakan adalah hal berikut (untuk memperbesar gambar, klik di gambar tersebut)

$Pages from 219 fullbook_edit$

Kesimpulan di buku tersebut menyatakan bahwa dua garis sejajar mempunyai gradien sama.

Saya katakan ada dua hal di uraian tersebut yang merupakan kesalahan dasar di matematika.

Pertama yaitu bagaimana kita mengetahui bahwa garis yang digambarkan merupakan garis-garis sejajar.
Kedua, bagaimana hubungan garis sejajar dan garis dengan gradien yang sama. Garis sejajar mempunyai gradien yang sama adalah hal yang harus diuji atau dibuktikan. Demikian pula sebaliknya, garis yang mempunyai gradien yang sama maka sejajar, juga merupakan hal yang harus dibuktikan.

Saat itu calon penulis tidak memberi komentar. Komentar datang dari salah satu
orang dari organisasi pemerintah yang mengatakan bahwa ulasan buku BSE
kurikulum sebelumnya tidak ada yang salah. Tulisan ini akan mencoba
menjelaskan mengapa dua hal tersebut merupakan kesalahan dasar di matematika.

Di matematika kita tidak boleh mengambil suatu kesimpulan hanya karena sekedar
mata mengatakan demikian. Walaupun mata merupakan indera yang sangat penting. Semua mahasiswa yang pernah kuliah dengan saya tentu
sudah sering mendengar perkataan saya, jangan percaya mata (tapi itu saya
sebutkan karena sering gagal menggambar garis lurus, he he he, jangan percaya
mata “ini garis lurus” sering saya gunakan).

Mengapa kita tidak dapat menyimpulan dengan mata.

Apakah potongan dua garis berikut sama panjang? (Gambar hal 15 di Matematika SLTP 3A oleh Wono Setya Budhi, Muller-Lyer Illusion )

$mata01$

Lihat juga animasi berikut (klik di gambar tersebut)

$mata$

Apakah garis-garis berikut sejajar ?(Klik di gambar berikut)

$mata02$

Satu hal penting di matematika, suatu kesimpulan di matematika selalu diambil hanya setelah definisi yang berkaitan dipenuhi atau hipotesa dari teorema yang berkaitan dipenuhi.

Dalam hal ini, kita akan menentukan apakah garis yang digambar merupakan garis
yang sejajar. Usaha pertama, sesuai dengan definisi garis sejajar, kita harus
memperpanjang garis tersebut terus menerus dan tetap tidak akan berpotongan.
Tetapi hal ini tidak mungkin dilakukan. (Baca juga tentang Aksioma Euclid,
tunggu tanggal mainnya!)

Usaha kedua, kita mengikuti yang dilakukan oleh Euclid. Untuk mengetahui
posisi dua garis, kita menggunakan garis ketiga. Misalkan kita mempunyai dua
garis $m$ dan $n$ . Untuk mengetahui posisi kedua garis, sejajar atau
berpotongan, kita menggunakan garis ketiga, misalkan $p$ .

$mata02$

Jika sudut $E$ dan $F$ yang diberi tanda, mempunyai jumlah sudut kurang dari
$180^{0}$ , maka garis $m$ dan $n$ akan berpotongan di sebelah kanan dari garis $p$ . Kita tentu saja dapat menggunakan tentang sudut sepihak maupun hubungan dua sudut di $E$ dan $F$ untuk memutuskan apakah dua garis $m$ dan $n$ sejajar atau berpotongan. Sebagai catatan, dua garis di atas tidak sejajar (sengaja saya buat beda sedikit), tetapi mata kita mengatakan bahwa kedua garis sejajar.

Mengapa Gradien Dua Garis yang Sama, Maka Dua Garis Tersebut Sejajar

Misalkan diketahui dua garis $m$ dan $n$ mempunyai gradien yang sama.

$mata03$
Karena gradien kedua garis sama, maka jika dibuat ruas garis $AD$ dan $CE$
yang masing-masing berada di sumbu $X$ , dan mempunyai panjang satu. Kemudian dibuat garis tegak lurus terhadap sumbu $X$ masing-masing melalui $D$ dan $E$ , akan memotong garis $m$ dan $n$ masing-masing di $F$ dan $G$ . Karena gradien garis $m$ dan $n$ , maka panjang $DF=EG$ .

Jadi, pada segitiga $ADF$ , panjang $AD=1$ , $DF=a$ (gradien garis $m$ ) dan $\angle ADF=90^{0}$ .

Demikian pula segitiga $CEG$ , panjang $CF=1$ , $FG=a$
(gradien garis $n$ ) dan $\angle CEG=90^{0}$ . Berdasarkan pemahaman membentuk segitiga, kedua segitiga tepat sama. Jadi $AF=CG$

Untuk melihat animasi, klik di gambar berikut

$mata03$

Selanjutnya, jika dibuat segiempat $ACGF$ , maka segi empat tersebut merupakan
jajaran genjang. Berdasarkan hal ini, kita dapat menyimpulkan bahwa garis $AF$
sejajar $CG$ . Ini semua dipelajari di kelas 7. Cara lain melihat ini dapat
dilihat di buku SMP saya jilid 2A hal 97.

Mengapa Garis Sejajar Mempunyai Gradien Sama

Untuk sebaliknya, misalkan $m$ dan $n$ dua buah garis sejajar.

$mata03$
Selanjutnya, buat garis $AD$ dan $CE$ masing-masing mempunyai panjang $1$ . Buat garis tegak lurus terhadap sumbu $X$ yang memotong garis $m$ di titik $F$ . Kemudian, tarik garis melalui $F$ sejajar sumbu $X$ , yang akan memotong garis $n$ di titik $G$ . Dengan demikian $ACGF$ merupakan jajaran genjang. Jika $GE$ merupakan garis tinggi jajaran genjang yang memalui $G$ , maka $GE=FD$ .

Dengan demikian gradien kedua garis sama besar.

Jika pelajaran mengenai gradien dua sejajar tidak dijelaskan kepada siswa, maka
pembelajaran tentang jajaran genjang dan masalah dua garis sejajar di kelas I
atau kelas 7 SMP menjadi tidak pernah terpakai dan tidak terasa kegunaannya
mengapa jajaran genjang harus dipelajari. Hal inilah yang merupakan salah satu hal yang disebut sebagai Connection di Standar NCTM.

October 10, 2013

Matematika SD, Matematika SMA, Matematika SMP, Perguruan Tinggi

18 responses to “Jangan Percaya Mata”

Jonathan Hoseana

October 11, 2013 at 6:59 am

Menarik pak. Ngomong-ngomong masalah jangan percaya mata, di TV national geographic ada acara namanya “Brain Games”. Salah satu episode nya judulnya “Seeing Is Believing” itu keren pak 😀

Reply
wonosb

October 11, 2013 at 7:40 am

Kalau itu melihat menjadi percaya yang ada di hutan di laut tempat terpencil. Bolehlah untuk persepsi pertama. Terima kasih sudah komentar

Reply
oki neswan

October 16, 2013 at 7:51 am

Menarik sekali. Pak Wono menyediakan oasis buku matematika yg sdh lama ditunggu….

Reply
1. wonosb
  
  October 16, 2013 at 2:27 pm
  
  Terima kasih Pak Oki dan semangatnya
  
  Reply
Dicky W

October 16, 2013 at 12:30 pm

Salam Pak Wono, saya hendak mengajukan revisi.
Tertulis bahwa:
“Demikian pula segitiga $CFG$”
Sementara, pada gambar segitiga yang terlihat adalah segitiga $CEG$. berikut pula variabel-variabel yang mengikuti.

Reply
1. Dicky W
  
  October 16, 2013 at 12:32 pm
  
  Maaf, maksudnya $CFG$ menjadi $CEG$
  
  Reply
  1. wonosb
    
    October 16, 2013 at 2:20 pm
    
    Terima kasih, saya akan perbaiki. Tetapi tulisan terima Dicky nya mau saya hapus, nanti yang baca bingung
Adhitya Wardhana

October 18, 2013 at 5:17 am

Wah ternyata masih ada juga buku matematika indonesia yang menganalisis kesejajaran (atau mungkin ketegak lurusan) berdasarkan gambar. Saya ingat dulu pak wono membikin angkatan 98 pusing dengan menggambar segitiga sembarang kemudian mendikte mata para mahasiswa baru (yang masih menyimpulkan pakai pengamatan mata) sehingga bisa diambil kesimpulan bahwa garis itu sama kaki 🙂

Reply
1. wonosb
  
  October 18, 2013 at 5:59 am
  
  Oh maksudnya salah satu kelemahan di geometri Euclid karena menjumlahkan ruas garis tidak pakai arah? Moga-moga bukan kenangan buruk tetapi muncul keingintahuan. Terima kasih sudah memberikan komentar
  
  Sebenarnya apa yang ditulis di buku itu terjadi pada semua buku yang ada
  
  Reply
Soal Ujian yang sebaiknya dihindari | Wono Setya Budhi

November 5, 2013 at 12:52 pm

[…] kita mengetahui bahwa persepsi mata dapat berbeda satu dengan yang lain. Lihat tulisan saya tentang https://wonosb.wordpress.com/2013/10/10/jangan-percaya-mata/ Mungkin ada banyak orang yang melihat bahwa apapun posisi garis pendek, kedua garis horisontal […]

Reply
isnarto

November 11, 2013 at 2:17 am

Terima kasih Pak… Kajian penting bagi kita yang sedang dan terus akan belajar matematika.
Pak Wono, sedikit tanya dari saya.
Terkait garis sejajar di atas, bukankah penulis buku telah menggambarkan di Koordinat Cartesius. Apakah itu belum cukup untuk dikatakan ‘tidak mengandalkan penglihatan’.
Terima kasih Pak…

Reply
1. wonosb
  
  November 11, 2013 at 8:00 am
  
  Misalkan kita mempunyai dua garis yang menghubungkan titik (0,0) ke (1,1) dan garis kedua (1,0) ke (2,1). Apakah ini sejajar, kita tidak mengetahui. Untuk mengetahui apakah dua garis tersebut sejajar ada dua cara
  1. Menguji bahwa dua garis tersebut sejajar dengan memperpanjang kedua garis terus menerus. Tetapi ini tidak mungkin, cara yang mudah yang seperti aksioma Euclid, potong dengan garis ketiga dst. Misalkan garis ketiga tersebut sumbu $X$, dan karena sudut yang dibentuk masing-masing garis tersebut sama, maka kedua garis tersebut sejajar.
  
  2. Cara kedua, dengan menghitung gradien garis tersebut sama. Tetapi gradien garis yang sama ini apakah mengatakan bahwa garis tersebut sejajar. Dalam bahasa Matematika tinggi ini suatu teorema yang harus dibuktikan. Bukti tersebut kurang lebih adalah memotong dengan garis ketiga yaitu sumbu $X$ seperti yang diuraikan di kalimat terakhir dari paragraf di atas.
  
  Di banyak buku ini tidak disinggung, seakan-akan dengan menggambar seperti di atas, mata sudah mengatakan bahwa garis tersebut sejajar. Ini yang tidak benar!
  
  Reply
  1. isnarto
    
    November 11, 2013 at 9:03 am
    
    Okay Pak…
    Terima kasih jawabannya. Kalau saya pilih cara kedua di atas, berarti kelemahan di buku adalah PELANGGARAN berupa ‘penggunaan cara induktif untuk membuktikan kebenaran matematik’. Apakah demikian pak…
    Terima kasih.
  2. wonosb
    
    November 11, 2013 at 1:20 pm
    
    Cara kedua boleh dipakai kalau sudah dibuktikan. Ini yang paling banyak terjadi, bahwa gradien garis sama maka sejajar itu yang sering diabaikan. Di banyak buku tidak dijelaskan bahwa gradien garis sama maka sejajar. Langsung dipakai atau dianggap sebagai suatu hal yang jelas.
    
    Hal seperti ini bukan merupakan cara induksi, tetapi mengabaikan hal dasar dari arti sejajar yaitu kalau kedua garis diperpanjang terus menerus tidak akan pernah bertemu.
    
    Terima kasih sudah membuka suatu diskusi.
Happy Prime

November 13, 2013 at 5:40 am

David Hilbert lebih ekstrim lagi, nama-nama obyek geometri seperti titik, garis, bidang baiknya diganti semisal dengan meja, gelas bir, kursi agar tidak tertipu oleh ‘mata pikiran’ kita, lalu membuktikan semata-mata dengan aksioma dan logika. Terdapat teorema di Elements yang tidak tuntas buktinya karena prasangka yang sudah tertanam tentang obyek geometri yang kita kenal.

Pendekatan seperti ini tentunya sulit bagi kebanyakan orang, yang membutuhkan intuisi untuk memandu proses berpikirnya. Juga untuk ‘matematika’ dalam ilmu-ilmu alam, yang prosesnya bisa lebih longgar, karena terdapat uji empiris yang dapat dijadikan sebagai batu uji bagi kebenaran hasilnya (contoh Feynman–’t Hooft gauge).

Reply
1. wonosb
  
  November 13, 2013 at 6:59 am
  
  Bisa dijelaskan lebih eksplisit?
  
  Dlm kasus tulisan saya, ada teorema atau sifat yang harus dibktikan terlebih dahulu, tetapi sudah dipakai begitu saja.
  
  Reply
  1. Happy Prime
    
    January 28, 2014 at 12:42 am
    
    sebenarnya saya menyinggung seberapa banyak dosis ‘rigour’ yang pas, terlalu banyak ‘rigour’ akan menyebabkan siswa menjadi takut-takut dalam kreativitas mereka bermatematika…mungkin siswa juga perlu diperkenalkan dengan karya2 matematikawan seperti ramanujan yang bermatematika secara intuitif atau juga mata kuliah semacam ini http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-098-street-fighting-mathematics-january-iap-2008/
Soal Ujian yang sebaiknya dihindari | WonoSB Math

February 20, 2014 at 2:34 am

[…] kita mengetahui bahwa persepsi mata dapat berbeda satu dengan yang lain. Lihat tulisan saya tentang https://wonosb.wordpress.com/2013/10/10/jangan-percaya-mata/ Mungkin ada banyak orang yang melihat bahwa apapun posisi garis pendek, kedua garis horisontal […]

Reply