Mengapa e=2,718… disebut sebagai bilangan pokok logaritma alami

Jika mahasiswa bertanya, mengapa $e$ merupakan bilangan pokok dari logaritma
alami, maka umumnya kita berfikir bahwa $e$ mempunyai sifat yang luar biasa
yang berkaitan sifat fungsi $y=\ln \left( x\right)$ dan inversnya $y=e^{x}$ . Kedua fungsi mempunyai sifat luar biasa dalam penurunan fungsi maupun integral. Khususnya, turunan fungsi $y=\log_a x$ dan $y=a^x$ , masing-masing adalah $\frac{1}{x \ln a}$ dan $a^x \ln a$ . Rumus ini menjadi lebih sederhana jika $a=e$ .

Tetapi kalau kita menyelidiki lebih jauh tentang cara menghitung logaritma, maka kita menyadari bahwa $e$ memang merupakan bilangan pokok logaritma alami, tidak hanya karena sifat penurunan fungsi logaritma dan eksponen melainkan juga berkaitan dengan perhitungan logaritma. Oleh karena itu penulisan $\ln$ sering diartikan sebagai logaritma natural, tetapi juga sebagai logaritma Napier (1550 — 4 April 1617, http://en.wikipedia.org/wiki/John_Napier) yang menemukan hal ini. Catatan ini mencoba mengungkapkan hal tersebut.

Di Sekolah Menengah Atas kita sudah belajar tentang logaritma, yaitu
penulisan bilangan berpangkat $g^{a}=x$ ditulis sebagai $\log _{g}a=x$ .
Dengan logaritma, menghitung perkalian diubah menjadi penjumlahan, tetapi
disertai dengan daftar logaritma. Di sekolah menengah, umumnya bilangan
pokok yang diambil adalah $g=10$ sesuai dengan sistem bilangan yang dipakai,
yaitu sistem puluhan. Dengan bilangan pokok tersebut, bilangan yang mudah dihitung
logaritmanya adalah $10,100,1000,\ldots$ yang masing-masing mempunyai nilai
$1,2,3,\ldots .$ Tetapi banyak sekali bilangan yang tidak mudah dihitung
logaritmanya, misalkan $\log _{10}2$ , $\log _{10}3$ , $\ldots$ dan masih
banyak bilangan di antara $10$ dan $100$ yang tidak mudah dihitung nilai
logaritmanya.

Untuk menghitung $\log _{10}2$ , kita harus menghitung pangkat dari $10$
sehingga memberikan hasil sama dengan $2$ . Hal ini tidak mudah karena hasilnya adalah bilangan pecahan atau bahkan irasional. Tentu sangat sulit.

Perhitungan akan lebih mudah jika hanya sekedar menghitung dengan
perkalian atau pangkat dengan bilangan asli, bukan mencari pangkat seperti
di atas. Oleh karena itu John Napier (1550-1617) mengusulkan bilangan pokok,
disekitar 1 sehingga logaritma dari suatu bilangan dapat dicari dengan perkalian dari bilangan pokok tersebut. Misalkan bilangan pokok diambil $1,1$ , maka dengan
menghitung pangkat dari bilangan tersebut diperoleh
$1,1^{2} =1,21$ ; $1,1^3=1,331$ ; $1,1^{4} =1,4641$ ; $1,1^{5} =1,6105$ dan seterusnya.

Sekarang, misalkan kita menginginkan nilai logaritma dari $2$ , maka kita
harus mencari $a$ sehingga $1,1^{a}=2$ . Dalam hal ini $1,1^7 =1,9487$ ; $1,1^{8} = 2,1436$ .
Berdasarkan hasil ini ternyata $a$ bukan merupakan bilangan bulat. Jika kita
menggunakan penghampiran linear. Karena $\log _{1,1}1,9487=7$ dan $\log _{1,1}2,1436=8$ , dengan menentukan persamaan garis melalui $B\left( 1,9487;7\right)$ dan $A\left( 2,1436;8\right)$ , dan menghitung nilai di $x=2$ , maka kita memperoleh nilai $\log _{1,1}2=7,2632$ . (Pada grafik, garis
dan grafik logaritma tersebut berimpit).

$log$

$logzoom$

Dengan bilangan pokok tersebut, nilai logaritma yang diperoleh sangat besar. Agar hasil logaritma cukup kecil, seperti halnya dengan bilangan pokok $10$ , kita membagi hasil tersebut dengan $10$ . Hasilnya

$0,72632=\frac{7,2632}{10}=\frac{\log _{1,1}2}{\log _{1,1}1,1^{10}}=\log_{1,1^{10}}2=\log _{\left( 1+\frac{1}{10}\right) ^{10}}2$

Ternyata, agar hasil logaritma $2$ kurang dari $1$ , maka bilangan pokok logaritma
tersebut haruslah $\left( 1+\frac{1}{10}\right) ^{10}$ .

Dengan menggunakan bilangan pokok tersebut, masih banyak bilangan yang tidak
dapat dihitung nilai logaritmanya, misalkan saja $1,01$ ; $1,02$ ; dan
bilangan lain yang lebih kecil dari $1,1$ . Oleh karena itu perlu dicoba bilangan pokok
yang lebih kecil lagi, misalkan $1,01=1+\frac{1}{100}$ . Dengan menghitung
berkali-kali, maka diperoleh $1,01^{69} =1,9869$ $1,01^{70} =2, 0068$

Sekali lagi dengan penghampiran linear, kita akan memperoleh $\log _{1,01}2=69,658$ . Sekali lagi, hasil ini terlalu besar. Dengan melakukan
hal yang sama dengan sebelumnya, maka akan diperoleh
$\log _{1,01^{100}}2=0,69658$
yaitu menggunakan bilangan pokok $\left( 1+\frac{1}{100}\right) ^{100}$ .

Proses di atas, secara teori tentu dapat diperumum sehingga bilangan pokok
logaritma diambil
$\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n}$
dengan $n$ sangat besar. Kita mengetahui bahwa $\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n}=e=2,71828\ldots$
dan bilangan inilah yang dipakai sebagai bilangan pokok.

Tentu saja dalam perhitungan, kita tidak memerlukan sampai dengan $e$ .
Untuk menghitung $\ln 2$ benar sampai dua angka, kita cukup menghitung
dengan bilangan pokok $1,01$ atau $1,001$ . Sebagai catatan
$1,001^{693} =1.99901334...$ $1,001^{694} =2,01236$
Sehingga $\ln 2=0,69...$ sudah merupakan angka yang tidak akan berubah lagi.
Persoalannya sekarang bagaimana menghitung $1,001^{693}$ apakah harus
mengalikan $693$ kali? Bisa lebih cepat?

Cara yang lebih sederhana dengan menghitung $1,001^{2}$ , $1,001^{4}=1,001^{2}\times 1,001^{2}$ , $1,001^{8}=1,001^{4}\times 1,001^{4}$ , $1,001^{16}$ , $1,001^{32}$
, dan seterusnya.

Apa bilangan $e$ itu?

Untuk $n\in \mathbb{N}$ , nilai dari $\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n} =1+C_{1}^{n}\frac{1}{n}+C_{2}^{n}\frac{1}{n^{2}}+C_{3}^{n}\frac{1}{n^{3}}+\ldots$

$\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n} =1+\frac{n!}{1!\left( n-1\right) !}\frac{1}{n}+\frac{n!}{2!\left(n-2\right) !}\frac{1}{n^{2}}+\frac{n!}{3!\left( n-3\right) !}\frac{1}{n^{3}}$

$\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n} =1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}\left( 1-\frac{1}{n}\right) +\frac{1}{3!}\left( 1-\frac{2}{n}\right) \left( 1-\frac{1}{n}\right) +\ldots$

Untuk $n\rightarrow \infty$ , nilai dari
$e=\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots$
karena $0!=1$ .

Nilai $e$ ini memenuhi

$2 < e <2+\frac{1}{2!}\left( 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\ldots \right)$

$e <2 +\frac{1}{2!} \left( 1 +\frac{1}{3} +\frac{1}{3^2} +\ldots \right)=2+\frac{3}{4}<3$

Tetapi bilangan $e$ ini merupakan bilangan irasional. Hal ini dapat dilihat
dengan cara kontradiksi. Misalkan $e$ merupakan bilangan rasional, misalkan

$e=\frac{p}{q}$ dengan $q\neq 1$ , maka $\frac{p}{q} =\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots$

$\frac{p}{q} =\left( \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\ldots +\frac{1}{q!}\right) +\left(\frac{1}{\left( q+1\right) !}+\ldots \right)$

Dengan mengalikan $q!$ pada kedua ruas, maka
$q!\frac{p}{q}=q!\left( \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\ldots +\frac{1}{q!}\right) +q!\left( \frac{1}{\left( q+1\right) !}+\ldots \right)$
Ruas kiri merupakan bilangan bulat, demikian pula suku pertama di ruas kanan,
tetapi suku kedua di ruas kanan lebih kecil dari $1$ :
$0 < \frac{1}{q+1}+\frac{1}{\left( q+1\right) \left( q+2\right) }+\ldots$

$<\frac{1}{q}+\frac{1}{q^{2}}+\frac{1}{q^{3}}+\ldots =\frac{\frac{1}{q}}{1- \frac{1}{q}}=\frac{1}{q-1}\leq 1$
Hal ini kontradiksi dengan kesamaan antara bilangan bulat.

Sebagai catatan: saat ini untuk menghitung nilai
$\ln 2=\int_{1}^{2}\frac{1}{t}dt$
dengan menghampiri luas daerah berikut%
$luas02$
dan dapat dihitung sebagai melalui penghampiran luas berikut%
$luas03$

4 responses to “Mengapa e=2,718… disebut sebagai bilangan pokok logaritma alami”

Happy Prime

January 28, 2014 at 12:34 am

sedikit masukan,
mungkin akan lebih mudah dicerna bagi anak-anak sma untuk mengenal e lewat limit perhitungan bunga majemuk (seperti dalam buku the mathematical universe,karangan william dunham), dan akan lebih menarik, karena melibatkan uang :)…dan juga akan memberikan pengertian intuitif munculnya e dalam fungsi sebagai pertumbuhan/penyusutan.

tedjo

November 9, 2014 at 2:29 pm

Dear pak Wono,

Saya punya soal eksponen yg lumayan bingung :)…. bisa bantu ya Pak :

2^(2x) + 2^(2x-2) = 3^(2x- 2) – 3^(x-3) , tentukan nilai x yang memenuhi..

Terima Kasih Pak..
Salam,
Tedjo , tedjopurbo@yahoo.com

1. wonosb
  
  January 24, 2015 at 1:07 pm
  
  Jawab 3 ya. Maaf terlambat, saya sudah tidak buka halaman ini. Lain kali ke http://wonosbmath.com/
  
Bilangan e | Laman Bisnis (beta)Laman Bisnis (beta)

March 6, 2015 at 6:12 pm

[…] Untuk penjelasan lebih lengkap, silahkan lihat logaritma alami. […]

Wono Setya Budhi